분포의 차이 : 카이제곱 (χ²)

아래 예제 및 해석 등의 내용은 우수명 著" 마우스로 잡는 SPSS 10.0 for windows" 카이제곱 편에서 참조하였습니다.

■ 확인사항

1. 자유도가 1인 경우

사례수라고 생각하면 되는데, 주어진 조건 아래에서 자유롭게 변화할 수 있는 점수나 변인의 수를 뜻한다. 예를 들어 주사위를 던져서 나올 수 있는 값의 자유도는 6이다.

전체사례수가 30보다 크면서 각 셀(cell)의 빈도가 5 이상일 때 적용 가능

2. 자유도가 1보다 큰 경우

사례수가 30보다 크면서 5미만의 기대빈도의 셀이 전체의 모든 칸의 20%보다 적고, 모든 셀에 1.00이상의 기대빈도가 있다면 척도에 관계없이 사용 가능

카이제곱 분포표를 토대로 자유도와 비교하여 분포차이의 여부를 봅니다.

해당 자유도와 유의수준에서의 카이제곱 값보다 크다면 분포차이가 있다고 봅니다.

이때 p값을 표시해주는 것은 기본입니다.

(예제) 명목변수*명목변수

	Value 값	df degree of freedom 자유도	Asymp.Sig.(2-sided) 양방향 검정 유의도
Pearson Chi-Square 피어슨 카이제곱 검정 결과	21.591(a)	4	.000 영가설이 발생할 확률이 0.000으로 기각
Likelihood Ratio 우도비 어떤 시행의 결과(Evidence) E가 주어졌다 할 때, 만일 주어진 가설 H가 참이라면, 그러한 결과 E가 나올 정도는 얼마나 되겠느냐 하는 것으로, 결과 E가 나온 경우, 그러한 결과가 나올 수 있는 여러 가능한 가설을 평가할 수 있는 측도가 곧 우도이다.	20.629	4	.000 p<0.001
N of Valid Cases 적합한 사례의 수	604
a 1 cells (10.0%) have expected count less than 5. 기대빈도가 5보다 작은 셀이 1개이며, 이는 전체셀의 10%에 해당합니다. The minimum expected count is 4.24 최소 기대빈도의 값이 4.24입니다.

(해석)

위 예제에서 우리는 Pearson Chi-Square(χ², 이하 카이제곱)의 값만 읽는 것으로 합니다.

우선 아래에서 N이 604로 30보다 크면서, a에서 언급한 것처럼 기대빈도가 5보다 작은 셀이 1개 이며 이는 전체 셀의 10%에 해당하여 20%보다 적기 때문에 확인사항에서 언급했던 기본적인 활용의 조건은 충족합니다.

이에 카이제곱의 값은 21.591이면서, 자유도(df)가 4이고, 양방향 검정(양측 검증)에 따른 유의도는 0.000으로 바꿔 표현하면 p<0.001이기 때문에 분포의 관련성이 있다고 볼 수 있습니다.

독립변수에 따른 종속변수의 분표차이가 있다고 결론을 내릴 경우 1종오류가 발생할 확률은 p<0.001입니다.

한편, 자유도와 양측검정의 유의도만 가지고 분포의 관련성 여부를 파악하려면, 카이제곱 분포표나 엑셀의 CHIINV 함수를 사용하시면 됩니다. 위 예제의 경우, 분포값은 20.00(단측검정의 경우는 18.47)이 나옵니다. 따라서 카이제곱 값(21.591)이 분포표의 값(20.00)보다 크기 때문에 분포에 있어 관계가 있다고 해석할 수도 있습니다.

엑셀에서 =CHIINV(유의수준, 자유도) 함수를 통해서 구할 수 있습니다. 이 함수는 카이제곱 분포의 단측(오른쪽) 검정 확률의 역함수 값을 반환합니다. 참고로 엑셀에서 CHIINV 함수는 카이제곱 분포 단측검정 확률의 역을 구하며, CHITEST는 독립검정을 구합니다.

덧붙여 양측검정을 하는 이유는 단측검정보다 더 낮은 유의수준을 요구하기 때문입니다(신뢰수준이 더 커진다). 즉 양측검정의 유의수준(α)가 0.01이면 단측 검증에서의 유의수준은 0.005이 됩니다. 카이제곱은 분포의 확인을 위해 사용되므로 통상 양측검정을 기본으로 합니다.

역으로 자유도와 카이제곱 값에서 유의수준을 조정할 수도 있습니다. 단 이때 유의수준을 정확히 표시해주어야 합니다.

■ 자료해석을 위한 초간단 용어해설

: 유의확률과 유의수준을 통해 본 1종 오류

○ 유의확률 : 1종 오류를 일으킬 확률 // "우연"이 개입될 확률, 통상 p<0.05, 95% 신뢰수준

○ 유의수준(α) : 1종 오류를 범할 수 있는 최대허용치

○ 1종 오류 : 귀무가설(영가설)이 참인데, 그것을 기각하는 경우

○ 2종 오류 : 연구가설이 참인데, 그것을 기각하는 경우

▶ 유의확률 < 유의수준 → 귀무가설 기각, 연구가설 채택 : 유의하다.

▶ 유의확률 > 유의수준 → 귀무가설 채택, 연구가설 기각 : 관계없다.

p<0.05이라는 말을 정확히 해석하자면,

유의수준은 영가설을 부정할 경우 유의해야할 수준, 즉 오류를 범할 수준입니다. 이는 독립변수에 따른 종속변수의 분포의 차이가 없다는 영가설이 발생할 확률이 5%보다 적다는 의미입니다. 영가설이 발생활 확률이 5% 미만이기 때문에 영가설을 부정할 때 발생할 오류(유의수준)는 5% 미만입니다.

또한 이처럼 영가설이 참인 경우 이를 부정(기각)하는 경우를 1종 오류(α)라고 합니다.